L'approximation par des polyn{ô}mes {à} coefficients entiers
Laurent Berger
TL;DR
Le travail détermine quelles fonctions continues sur un compact $K\subset\mathbb{R}$ peuvent être des limites uniformes de polynômes à coefficients entiers $\mathbb{Z}[T]$. En reliant l’approximation à l’analyse par les polynômes de Chebyshev $T_n(K)$ et au rayon de capacité $\mathrm{cap}(K)$, il montre que lorsque $\mathrm{cap}(K)<1$, il existe des polynômes entiers de petite norme et un noyau fini $J(K)$ qui contrôle les conditions d’approximation via une interpolation sur $J(K)$. L’approche établit ensuite une équivalence clé: une fonction $f$ est $\mathbb{Z}[T]$-approximable sur $K$ si et seulement si elle est $J(K)$-interpolable, et il est possible de réduire $J(K)$ à $J_0(K)$, ce qui permet des calculs concrets, notamment pour $K=[-a,a]$ où $J_0(I_a)$ se décrit en termes de valeurs $2\cos(2\pi j/k)$. En combinant capacité, arithmétique des nombres algébriques et interpolation finie, le papier fournit un cadre systématique pour l’approximation par polynômes entiers et éclaire le rôle des obstacles algébriques dans l’approximation uniformes.
Abstract
This expository article proves some results of Ferguson, on the approximation of continuous functions on a compact subset of R by polynomials with integral coefficients.