Invariance Galoisienne des zéros centraux de fonctions L

TL;DR

Le travail démontre l’invariance par Aut$(\mathbb{C})$ de l’annulation et de la parité de l’ordre en $s=\tfrac{1}{2}$ des fonctions $L$ standard et Rankin-Selberg associées à des représentations automorphes cuspidales régulières autoduales ou conjuguées autoduales sur ${\rm GL}_n$ sur un corps de nombres arbitraire. L’approche combine cohomologie pondérée de Goresky–Harder–MacPherson, résidus de séries d’Eisenstein sur des groupes classiques et classification endoscopique d’Arthur/Mok, pour relier les zéros centraux à des classes cohérentes dans la cohomologie et des résidus d’Eisenstein; l’annexe de Waldspurger–Taïbi assure l’absence de zéros/pôles parasites des opérateurs d’entrelacement locaux. L’article étend les résultats antérieurs à des cadres non hermitiens et non totalement réels, en assurant rationnalité et compatibilité vía Nair–Rai, et montre des invariances pour les facteurs epsilon. Ces résultats fournissent des preuves robustes de conjectures de Deligne sur l’équirépartition Galois des valeurs critiques et renforcent le lien entre arithmétique des motifs et automorphie. En pratique, ils permettent de comprendre la rigidité automorphe des valeurs centrales et des propriétés de pariité dans des familles d’L-fonctions, via une géométrie cohomologique et une théorie d’Eisenstein raffinée.

Abstract

Nous démontrons l'invariance Galoisienne de la propriété d'annulation en $1/2$ des fonctions L standard ou de Rankin-Selberg pour certaines représentations automorphes cuspidales algébriques régulières autoduales ou autoduales conjuguées de groupes linéaires sur un corps de nombres arbitraire. La démonstration repose sur l'utilisation de la cohomologie pondérée de Goresky-Harder-MacPherson et sur la construction de certaines représentations automorphes discrètes pour les groupes classiques comme résidus de séries d'Eisenstein. L'abandon de l'hypothèse ``$F$ totalement réel'' introduit de nouvelles difficultés concernant certains opérateurs d'entrelacement. Celles-ci sont résolues grâce à l'appendice, rédigé par J.-L. Waldspurger et l'un d'entre nous, démontrant l'holomorphie et la non-annulation de certains opérateurs d'entrelacement normalisés. Nous démontrons également l'invariance Galoisienne des facteurs epsilon correspondants, impliquant l'invariance Galoisienne de la parité de l'ordre d'annulation en $1/2$ de ces fonctions $L$. -- We prove the invariance under the Galois group of the vanishing at $1/2$ of standard and Rankin-Selberg L-functions for certain self-dual or conjugate self-dual algebraic cuspidal automorphic representations for general linear groups over an arbitrary number field. The proof uses Goresky-Harder-MacPherson weighted cohomology and the construction of certain discrete automorphic representations for classical groups as residues of Eisenstein series. New difficulties appear concerning certain intertwining operators. These are solved in the appendix by J.-L. Waldspurger and O. Taïbi proving the holomorphy and non-vanishing of these operators. We also prove the Galois invariance of epsilon factors, implying Galois invariance of the parity of the order at $1/2$ of L-functions.

Theorems & Definitions (31)

• Proposition 1.1
• proof
• Proposition 3.1
• proof
• Proposition 5.2
• Proposition 5.6
• Proposition 6.3
• proof
• Proposition 8.2
• proof