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Une remarque sur l'arborification de Matula

Dominique Manchon

TL;DR

Ce travail propose d’appliquer l’arborification de Matula comme cadre algébrique pour étudier les sommes partielles des fonctions Möbius et Liouville sur les entiers naturels. Il combine des inégalités fines sur les nombres premiers et la structure non-associative permutative des arbres (NAP) via le produit de Butcher, transporté par l’arborification vers les nombres premiers. L’approche vise à réaliser des couplages entre entiers sans facteur carré (pour Möbius) ou sans restriction (pour Liouville) au moyen de coupes et fusions d’arbres, afin d’obtenir des majorations non triviales de $|M(n)|$ et $|L(n)|$. Bien que ces résultats ne améliorent pas les connaissances sur la fonction Zêta, ils suggèrent que l’arborification de Matula peut apporter des outils analytiques et informatifs pour l’étude des fonctions multiplicatives et de leurs sommes partielles. Des appendices détaillent des exemples numériques de couplages et d’appariements sur des plages allant jusqu’à 1000, illustrant la praticité et les limites de la méthode.

Abstract

Nous esquissons une application de l'arborification de Matula à l'étude de la fonction sommatoire des fonctions de M\" obius et de Liouville sur les entiers naturels - We sketch an application of Matula's arborification to the study of the partial sums of both M\" obius and Liouville function.

Une remarque sur l'arborification de Matula

TL;DR

Ce travail propose d’appliquer l’arborification de Matula comme cadre algébrique pour étudier les sommes partielles des fonctions Möbius et Liouville sur les entiers naturels. Il combine des inégalités fines sur les nombres premiers et la structure non-associative permutative des arbres (NAP) via le produit de Butcher, transporté par l’arborification vers les nombres premiers. L’approche vise à réaliser des couplages entre entiers sans facteur carré (pour Möbius) ou sans restriction (pour Liouville) au moyen de coupes et fusions d’arbres, afin d’obtenir des majorations non triviales de et . Bien que ces résultats ne améliorent pas les connaissances sur la fonction Zêta, ils suggèrent que l’arborification de Matula peut apporter des outils analytiques et informatifs pour l’étude des fonctions multiplicatives et de leurs sommes partielles. Des appendices détaillent des exemples numériques de couplages et d’appariements sur des plages allant jusqu’à 1000, illustrant la praticité et les limites de la méthode.

Abstract

Nous esquissons une application de l'arborification de Matula à l'étude de la fonction sommatoire des fonctions de M\" obius et de Liouville sur les entiers naturels - We sketch an application of Matula's arborification to the study of the partial sums of both M\" obius and Liouville function.
Paper Structure (12 sections, 4 theorems, 112 equations)

This paper contains 12 sections, 4 theorems, 112 equations.

Table of Contents

  1. Introduction
  2. Quelques inégalités concernant les nombres premiers
  3. Démonstration de la Proposition \ref{['pan-apn']}
  4. Démonstration de la proposition \ref{['fusion']}
  5. Démonstration d'une conjecture de J. Sousselier
  6. Encore une inégalité sur les nombres premiers
  7. Entiers naturels et arbres
  8. La structure non-associative permutative sur les arbres
  9. Retour sur l'arborification de Matula-Goebel-Cappello
  10. Sommets, arêtes et feuilles
  11. Une graduation
  12. Etude des fonctions sommatoires des fonctions de Möbius et de Liouville

Key Result

Proposition 1

Pour tout couple d'arbres $(s,t)$ excepté $({\begin{picture}(12,12)(38,-38) \SetWidth{0.5} \SetColor{Black} \Vertex(45,-37){6} \end{picture}}\,,{\begin{picture}(12,12)(38,-38) \SetWidth{0.5} \SetColor{Black} \Vertex(45,-37){6} \end{picture}}\,)$ et $(\,{\begin{picture}(8,65) (370,-248) \SetWidth

Theorems & Definitions (6)

  • Proposition 1
  • Proposition 2: Gutman-Ivić GI
  • Proposition 3
  • proof
  • Proposition 5
  • proof