Stationaere Kurven auf endlichdimensionalen Mannigfaltigkeiten
Tobias Starke
TL;DR
Der Text entwickelt systematisch die Grundlagen einer endlichen-dimensionalen geodätischen Geometrie: von Topologie und Metrik über lineare Algebra bis hin zu Mannigfaltigkeiten, Tangential- und Tensorbündeln, um schließlich eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik $g$ zu definieren. Dadurch lassen sich Winkel- und Längenkonzepte formalisieren und die Längenauswertung einer Kurve mittels des Längenfunktionals $\mathbb{L}_{[a,b]}(\gamma)$ herleiten, wobei Geodätische als stationäre Kurven des Längenfunktionals erscheinen. Die Arbeit verbindet diese Grundlagen mit Anwendungen in Physik (Spacetime-Geometrie) und Bildverarbeitung (Bildabgleich) und skizziert eine Überführung in unendliche Dimensionen, die insbesondere für Geodäsie- und Matching-Algorithmen relevant ist. Insgesamt dient der Text dazu, die rigide mathematische Struktur hinter schwachen Geodätischen zu klären und eine Brücke zu bilden zwischen theoretischer Differentialgeometrie und praktischen Algorithmen.
Abstract
In this work we discuss the notion of stationary curves of the length functional, the so-called (weak) geodesics, on a Riemannian manifold. The motivation behind this work is to give a detailed description of many key concepts from differential geometry that one needs in order to understand the important notion of a (weak) geodesic. For this, we mainly focus on finite-dimensional smooth manifolds, so that we can develop an intuitive and geometric understanding of the concepts that we want to discuss. At the end of this work, we also provide a rough description of how one can generalise these ideas into infinite dimensions and how one can use (weak) geodesics in special algorithms for image matching (see [21]).