Logo
ScienceStack
Table of Contents
Fetching ...
Sign In

On mathematical aspects of surface correction via ion beam etching

W. Pauls

TL;DR

Проблема: восстановить карту травления $t$ по заданному профилю поверхности $h$ в контексте ионно-пучкового травления, моделируемого как свёртка $h=f*t$ на бесконечномерном пространстве. Подход: формализация через бесконечномерное линейное уравнение $At=h$ с компактным оператором $A$, использование псевдообратного оператора $A^{\u2020}$ и разбор спектра $A^{*}A$; в качестве практики — RKHS с ядром $(f*f)$ и радикальные базисные функции для стохастичных и дискретных данных. Внесённые вклад и результаты: установлена связь между самыми эффективными сингулярными векторами и локализацией внутри области измерений, продемонстрированы численные примеры и разработаны подходы к фильтрации и регуляризации, а также показано, как использовать два параллельных подхода для получения устойчивых карт травления в прикладном контексте IBF. Значение: предлагаемые математические рамки полезны для обратных задач в электростатике, реконструкции изображений и точной настройки процессов травления, улучшая устойчивость к шуму и управляемость экспозицией.

Abstract

Motivated by the ion beam dwell time calculation problem in Ion Beam Figuring we suggest a mathematical framework for solving a specific type of inverse problems, which appear in various areas of applied mathematics and physics. From the point of view of functional analysis we deal with a linear operator equation, which, taking advantage of the observation that the associated operator, acting from the space of dwell times into the space of measurement data, is close to a finite-dimensional one, can be solved employing the pseudoinverse operator. For the main case of interest we describe the behavior of the singular vectors inside the domain, on which measurement data are given, which turn out to be close to functions $e^{ikx}$. Heuristically, these singular vectors are similar to eigenfunctions of the infinitely deep quantum well. An alternative problem formulation, closer to practical calculations, utilizes reconstructing kernel Hilbert spaces (RKHS) and radial basis functions, which are used for pointwise approximation of measurement data and ensuing dwell time determination. Depending on the particularities of the concrete problem either framework or a suitable combination of each can be used.

On mathematical aspects of surface correction via ion beam etching

TL;DR

Проблема: восстановить карту травления по заданному профилю поверхности в контексте ионно-пучкового травления, моделируемого как свёртка на бесконечномерном пространстве. Подход: формализация через бесконечномерное линейное уравнение с компактным оператором , использование псевдообратного оператора и разбор спектра ; в качестве практики — RKHS с ядром и радикальные базисные функции для стохастичных и дискретных данных. Внесённые вклад и результаты: установлена связь между самыми эффективными сингулярными векторами и локализацией внутри области измерений, продемонстрированы численные примеры и разработаны подходы к фильтрации и регуляризации, а также показано, как использовать два параллельных подхода для получения устойчивых карт травления в прикладном контексте IBF. Значение: предлагаемые математические рамки полезны для обратных задач в электростатике, реконструкции изображений и точной настройки процессов травления, улучшая устойчивость к шуму и управляемость экспозицией.

Abstract

Motivated by the ion beam dwell time calculation problem in Ion Beam Figuring we suggest a mathematical framework for solving a specific type of inverse problems, which appear in various areas of applied mathematics and physics. From the point of view of functional analysis we deal with a linear operator equation, which, taking advantage of the observation that the associated operator, acting from the space of dwell times into the space of measurement data, is close to a finite-dimensional one, can be solved employing the pseudoinverse operator. For the main case of interest we describe the behavior of the singular vectors inside the domain, on which measurement data are given, which turn out to be close to functions . Heuristically, these singular vectors are similar to eigenfunctions of the infinitely deep quantum well. An alternative problem formulation, closer to practical calculations, utilizes reconstructing kernel Hilbert spaces (RKHS) and radial basis functions, which are used for pointwise approximation of measurement data and ensuing dwell time determination. Depending on the particularities of the concrete problem either framework or a suitable combination of each can be used.

Paper Structure

This paper contains 24 sections, 94 equations, 8 figures.

Table of Contents

  1. Введение
  2. Формулировка задачи в рамках функционального анализа и теории операторов
  3. Предварительные замечания
  4. Задача расчета карты травления как бесконечномерное линейное уравнение
  5. Примеры
  6. Свойства операторов $A$ и $A^{\ast } A$
  7. Постановка задачи в диcкретном случае
  8. Собственные значения и функции оператора $A^{\ast } A$
  9. Собственные значения и функции оператора $A^{\ast } A$ в одномерном случае для гауссовой функции пучка
  10. Некоторые замечания о собственных значениях и собственных функциях $A^{\ast } A$ в общем одномерном случае
  11. Собственные числа и функции оператора $A^{\ast } A$ с гауссовым ядром на диске
  12. Собственные значения и функции оператора $A^{\ast } A$ в общем случае
  13. Численный пример
  14. Задача вычисления карт травления в формализме гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром и радиальных базисных функций
  15. Непрерывный случай и гильбертовы пространства с воспроизводящими ядрами
  16. ...and 9 more sections

Figures (8)

  • Figure 1: Собственные функции $A^{\ast } A$ с гауссовым ядром (\ref{['eq:GaussianKernel']}) показаны на левом рисунке для $\sigma = 2$ и $L = 80$. Собственные функции низких порядков показаны вместе с первыми тремя собственными функциями $\partial_x^2$ с нулевыми граничными условиями (показаны тонкими линиями). На правом рисунке мы показываем некоторые собственные функции более высоких порядков. Все собственные функции были вычислены с использованием формулы (\ref{['eq:discreteKernelAAstar']}) для $\Delta$, малого по сравнению с $\sigma$ и $L$.
  • Figure 2: Собственные функции $t_n (x)$ оператора $A^{\ast } A$ с гауссовым ядром (\ref{['eq:GaussianKernel']}), делённые на $\cos \sqrt{ - \frac{ \ln \lambda _n }{\sigma^2} } x$ для чётных, соответственно на $\sin \sqrt{ - \frac{ \ln \lambda _n }{\sigma^2} } x$ для нечётных собственных функций для численных значений $\sigma = 2$ и $L = 80$, показаны на левом рисунке. На правом рисунке эти собственные функции скомпенсированы на $(x^{\prime } + L) \, e^{\frac{(x + L)^2}{2\sigma ^2} } / \sqrt{ - \frac{ \ln \lambda _n }{\sigma^2} }$.
  • Figure 3: Собственные функции $A^{\ast } A$ с одномерным пуассоновым ядром (распределение Коши) (\ref{['eq:GaussianKernel']}) показаны на левом рисунке для $\sigma = 2$ и $L = 40$. Все собственные функции были вычислены с использованием формулы (\ref{['eq:discreteKernelAAstar']}) для $\Delta$, малого по сравнению с $\sigma$ и $L$.
  • Figure 4: Первые шесть собственных функций оператора $A^{\ast } A$ с функцией инструмента, заданной гауссовым ядром (\ref{['eq:GaussianKernel']}) с $\sigma = 2$. Область измерений представляет собой стадион Бунимовича шириной $10$. Контур стадиона показан пунктирной линией.
  • Figure 5: Собственные функции высокого порядка оператора $A^{\ast } A$ с функцией инструмента, заданной гауссовым распределением с $\sigma = 2$. Область измерений представляет собой стадион Бунимовича шириной $10$. Контур стадиона показан пунктирной линией. Заметим, что собственные функции на верхнем левом и нижнем левом рисунках локализованы только на части области измерений $\Omega$.
  • ...and 3 more figures