Action de groupe sur la compactification hybride
Alexandre Roy
TL;DR
Ce travail développe un cadre fondé sur les espaces Berkovich hybrides pour étudier l’action d’un groupe algébrique réductif G sur une compactification hybride X^rontière de X(). Il caractérise le locus où l’action est bien définie sur le bord et montre que le quotient par G est homéomorphe à la compactification du quotient (X/G)^rontière, sous des hypothèses adaptées. L’article applique ensuite ces résultats à Rat_d avec G = SL_2, obtenant une version générale des résultats Favre-Gong et construisant une compactification M_d^rontière dont le bord reflète des descendants non-archimédiens; l’itération des fractions rationnelles s’étend sur cette compactification, et les résultats s’étendent à des corps valués non triviels. L’approche hybride offre une vision cohérente des phénomènes dynamiques et dégénératifs mêlant archiméen et non-archimédien, tout en restant compatible avec des cadres GIT et des résultats de continuité des mesures d’équilibre.
Abstract
Let $X$ be an algebraic variety over $\mathbb{C}$ and $G$ be an algebraic group acting on $X$ whose action is closed. J. Poineau defined a compactification $X^\urcorner$ of $X(\mathbb{C})$ by using hybrid Berkovich spaces. We will focus on the extension of the action of $G$ on this compactification by characterising the set $\mathcal{U} \subset X^\urcorner$ where the action is well defined. We will also show that the quotient of $\mathcal{U}$ by the action of $G$ is homeomorphic to $(X/G)^\urcorner$, the compactification of $(X/G)(\mathbb{C})$. We then apply these results to $X = \mathrm{Rat}_d$, the space of rational maps and $G = \mathrm{SL}_2$. It gives the results of C. Favre-C. Gong in a more general setting. Furthermore, we get a compactification of $\mathrm{M}_d = \mathrm{Rat}_d/\mathrm{SL}_2$ where the boundary is made of orbits of non-archimedean rational maps. The results still holds if $\mathbb{C}$ is replaced by $k$ a non-trivially valued field and complex analytic spaces by Berkovich spaces over $k$.