Family of Riemannian problems on the Heisenberg group

TL;DR

Этот труд исследует приближение субримановой геометрии на группе Гейзенберга через семейство левоинвариантных римановых структур с репером $\{X_1,X_2,\\varepsilon X_3\}$ и доказывает, что при $\\varepsilon\to0$ получаются соответствующие субримановы задачи. Используется геометрия управления и гамильтонова формализация для явного описания экстремалей, сопряженных точек, каустик, множества разреза, гладкости расстояния и геометрии сфер, а также радиуса инъективности; затем показано, что основные объекты задачи $P_{\\varepsilon}$ сходятся к их субримановым аналогам: экспоненциальное отображение, конъюктурные и разрезные множества, а также сферы. Эти результаты устанавливают строгую связь между римановой аппроксимацией и субримановой структурой на группе Гейзенберга и обеспечивают обоснование для аппроксимаций и анализа синтеза в этой геометрии. В целом работа расширяет понимание пределов между римановой и субримановой геометриями, демонстрируя устойчивость ключевых геометрических объектов и оптимизационных свойств при переходе к пределу $\\varepsilon\to0$.

Abstract

We study a family of Riemannian problems on the Heisenberg group that tends to the sub-Riemannian problem on this group.

Figures (5)

• Figure 1: Оптимальные траектории в задаче $P_{\varepsilon}$, $\varepsilon = 1$
• Figure 3: Субримановы сферы в задаче $P_0$
• Figure 5: Римановы сферы в задаче $P_{\varepsilon}$, $\varepsilon = 1$
• Figure 6: Риманова сфера радиуса 1 в задаче $P_{\varepsilon}$, $\varepsilon = 1$
• Figure 8: Субриманова сфера радиуса $0,\!1$ в задаче $P_{0}$

Theorems & Definitions (8)

• proof
• proof
• proof
• proof
• proof
• proof
• proof
• proof