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Étude de quelques familles de $λ$-quiddités et minoration de la taille maximale des $λ$-quiddités irréductibles sur un corps fini

Flavien Mabilat

TL;DR

Le travail étudie les $\lambda$-quiddités sur les corps finis et fournit une synthèse structurée des familles pouvant générer des $\lambda$-quiddités irréductibles et leurs tailles. L’approche s’articule autour des continuants $K_n$ et de constructions telles que les solutions monomiales minimales, dynomiales minimales et trinomial minimales, en explorant leur irréductibilité et leurs implications pour les bornes $\ell_{\mathbb{F}_q}$. Des résultats explicites donnent des conditions suffisantes pour l’irréductibilité dans les cas des corps finis et des anneaux $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$, avec des minorations robustes lorsque $2$ est la caractéristique ou lorsque l’ordre des éléments et les discriminants satisfont certaines non‑résolutions quadratiques. L’étude inclut aussi des familles complémentaires et des conjectures pour étendre les bornes et comprendre l’échelle des tailles maximales des éléments irréductibles, en particulier via les trinômes et les propriétés des carrés dans les corps finis. Globalement, le papier fournit un cadre méthodologique et des résultats concrets pour estimer $\ell_A$ et construire des irréductibles dans divers contextes finis, tout en reliant les questions d’écriture dans les groupes modulaire et les frises de Coxeter.

Abstract

$λ$-quiddities of size $n$ are $n$-tuples of elements from a fixed set that are solutions to a matrix equation which is fundamental in the study of the combinatorics of the modular group and Coxeter's friezes. To gain further insight into these objects, we use a notion of irreducibility, which allows restricting the study to a limited number of elements that must be determined for each set. Our goal here is to define several families of $λ$-quiddities over finite fields and to study their irreducibility properties, with the specific aim of establishing lower bounds on the maximal size of irreducible elements over $\mathbb{F}_{q}$.

Étude de quelques familles de $λ$-quiddités et minoration de la taille maximale des $λ$-quiddités irréductibles sur un corps fini

TL;DR

Le travail étudie les -quiddités sur les corps finis et fournit une synthèse structurée des familles pouvant générer des -quiddités irréductibles et leurs tailles. L’approche s’articule autour des continuants et de constructions telles que les solutions monomiales minimales, dynomiales minimales et trinomial minimales, en explorant leur irréductibilité et leurs implications pour les bornes . Des résultats explicites donnent des conditions suffisantes pour l’irréductibilité dans les cas des corps finis et des anneaux , avec des minorations robustes lorsque est la caractéristique ou lorsque l’ordre des éléments et les discriminants satisfont certaines non‑résolutions quadratiques. L’étude inclut aussi des familles complémentaires et des conjectures pour étendre les bornes et comprendre l’échelle des tailles maximales des éléments irréductibles, en particulier via les trinômes et les propriétés des carrés dans les corps finis. Globalement, le papier fournit un cadre méthodologique et des résultats concrets pour estimer et construire des irréductibles dans divers contextes finis, tout en reliant les questions d’écriture dans les groupes modulaire et les frises de Coxeter.

Abstract

-quiddities of size are -tuples of elements from a fixed set that are solutions to a matrix equation which is fundamental in the study of the combinatorics of the modular group and Coxeter's friezes. To gain further insight into these objects, we use a notion of irreducibility, which allows restricting the study to a limited number of elements that must be determined for each set. Our goal here is to define several families of -quiddities over finite fields and to study their irreducibility properties, with the specific aim of establishing lower bounds on the maximal size of irreducible elements over .

Paper Structure

This paper contains 26 sections, 22 theorems, 95 equations.

Table of Contents

  1. Introduction
  2. Définitions et résultats principaux
  3. Résultats préliminaires
  4. Continuant
  5. Carrés modulo un nombre premier $p$
  6. Solutions monomiales minimales
  7. Solutions dynomiales généralisées
  8. Définition et premières propriétés
  9. Résultats d'irréductibilité
  10. Irréductibilité sur les anneaux $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$
  11. Bilan des éléments obtenus
  12. Solutions trinomiales
  13. Définition et caractérisation de l'irréductibilité
  14. Recherche de minorants
  15. Le cas des corps de caractéristique 2
  16. ...and 11 more sections

Key Result

Proposition 3.2

Soient $A$ un anneau commutatif unitaire et $(a_{1},\ldots,a_{n}) \in A^{n}$, avec $n \in \mathbb{N}^{*}$.

Theorems & Definitions (60)

  • Proposition 3.2
  • proof
  • Proposition 3.3
  • proof
  • Proposition 3.4
  • proof
  • proof
  • Proposition 3.6: G, proposition VII.51
  • Proposition 3.7
  • proof
  • ...and 50 more