The cost of symmetry for tailed stars

TL;DR

Проблема заключается в том, чтобы определить, как симметрия графа ограничивает минимальные симметрично инвариантные множества вершин, обеспечивающие удаление всех подграфов, изоморфных заданному $K$, и верифицировать точность известной границы $|V(K)|\cdot n$. Авторы развивают подход через действии группы на множество вершин и используют неравенство, выведенное из теоремы Неймана, чтобы связать размер орбит и размеры пересечений с множества представителей, а также доказывают усиление теоремы KL в контексте симметризированных весовых системRepresentatives. Основной вклад состоит в конструировании бесконечной семейств связных графов $K$, для которых классическая оценка не точна, и в формализации инструментов (лемма о плотных окрестностях, симметризация весовых представителей), что позволяет анализировать стоимость симметрии в задаче удаления копий $K$. Практическое значение результатов проявляется в более точном понимании того, как automорфизмная симметрия ограничивает выбор инвариантных представителей и какие графы демонстрируют границы этих ограничений (например, графы вида $sr_d$ и $K'_n$), что приводит к более тонким версиям оценок в теории графов.

Abstract

It is known that if $n$ vertices can be removed from a connected graph $Γ$ so that no subgraphs isomorphic to the graph $K$ remain, then no more than $|V(K)|\cdot n$ vertices can be removed, forming a set invariant with respect to all automorphisms of the graph $Γ$, so that no subgraphs isomorphic to the graph $K$ remain. We construct an infinite set of (connected) graphs $K$ for which this estimate is not exact.