Note on the linearisation of finite abelian groups
Aurélien Djament
TL;DR
Note sur la linéarisation des groupes abéliens finis: le travail élabore une solution positive au problème fonctoriel $k[A]\simeq k^{A^\sharp}$ sans supposer que $k$ contient suffisamment de racines d’unité ni que $A$ soit fini, en s’appuyant sur les sommes de Gauss et l’inversion de Fourier dans un cadre plus général que les corps. L’approche introduit et exploite la propriété $(\mathrm{LD})_k$ (linéarisation via dualité) et développe des outils d’additivisation pour les foncteurs additifs, y compris des résultats sur les morphismes et les cas infiniment valued. Le résultat principal étend les travaux antérieurs (DG) et supprime des hypothèses essentielles, tout en explorant des questions functorielles connexes et les limitations imposées par la torsion. Enfin, l’article discute des implications pour les catégories de foncteurs et la dualité dans la théorie des groupes abéliens finis, apportant un cadre pour analyser des foncteurs additifs et leur linéarisation via des techniques arithmétiques et combinatoires, notamment les transformées de Fourier et les sommes de Gauss.
Abstract
If $K$ is a field with enough roots of unity and $V$ an abelian group, the $K$-algebra $K[V]$ of the group $V$ is split semisimple, so that the canonical morphism $K[V]\to K^{V^\sharp}$, where $V^\sharp$ denotes the dual group of $V$ (which may be seen as Hom$(V,K^\times)$), is an isomorphism of $K$-algebras. If one removes the assumption that $K$ has enough roots of unity, one can easily deduce from it (by using a base change and Krull-Schmidt) that it remains a $K$-linear isomorphism $K[V]\xrightarrow{\simeq} K^{V^\sharp}$ natural in the group $V$ if one restricts to finite groups $V$ canceled by a fixed nonzero integer. The question of whether such an isomorphism, natural in the abelian group $V$, still exists without any other restriction than $V$ is finite and its order is invertible in $K$, is less obvious; we solve it positively, in a somewhat more general setting ($K$ being any commutative ring), by using Gauss sums. We also explore some related functorial questions.