$\displaystyle SL(2, {\Bbb Z})$, les tresses à trois brins, le tore modulaire et $Aut^{+}(F_{2})$

TL;DR

Le papier propose une présentation parabolique de $SL(2,\mathbb Z)$ à partir de l’image de $B_3$ et de son centre, mettant en évidence une description affine du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré et sur le tore modulaire; en reliant $Aut^+(F_2)$ à $B_3$ (Nielsen), il obtient une structure de produit semi-direct amalgamé décrivant les automorphismes directs de $F_2$; les appendices étendent le cadre à la structure et caractérisation de $Aut^+(F_2)$, la classification des torsions de $SL(2,\mathbb Z)$ et l’extension vers $Aut(F_2)$ ainsi que le groupe des tresses diédrales $DB_3$; l’ensemble clarifie l’interaction entre présentations algébriques des groupes linéaires, l’action géométrique sur les surfaces modulaires et les théorèmes de Nielsen.

Abstract

The action of $SL(2, {\bf Z})$ on the integer torus and its quotient by central symmetry and Artin's presentation of three strings braid group $B_{3}$, produces a presentation with parabolic generators $\pmatrix{1& -1\cr 0& 1\cr}$ and $\pmatrix{1& 0\cr 1& 1\cr}$. This braided presentation describes the action of the derived group on Poincaré's half plane and its quotient the modular torus, just as Nielsen's theorem giving the group of direct automorphisms of the free group on two generators as semi-direct product, amalgamated on the index $2$ subgroup of the center of $B_{3}$, of inner automorphisms with $B_{3}$.