Comptage de fibrés de Hitchin pour le groupe $\mathrm{SL}(n)$

TL;DR

Le travail établit une formule explicite pour le comptage des fibrés de Hitchin de rang $n$ sur une courbe $C$ définie sur un corps fini, avec déterminant fixé et trace nulle, dans le cadre d’un diviseur $D$ de degré $>2g-2$ et de caractéristique suffisamment grande. L’approche combine une décomposition par covers cycliques et les polynômes universels de Mozgovoy–O’Gorman, avec une analyse cohomologique via la fibration de Hitchin pour GL(n) et des théorèmes de support inspirés par Ngô, Donnant des égalités entre cohomologies relatives et obtention de formules pour les points sur extensions de $\,\mathbb{F}_q$ ainsi que les polynômes de Poincaré et l’Euler-Poincaré. Les résultats se déclinent en calculs explicites pour les nombres de points $|N_n^\beta(C,D)(\mathbb{F}_{q^m})|$, $|M_n^\beta(C,D)(\mathbb{F}_{q^m})|$, et en expressions précises des invariants topologiques via les polynômes de Mozgovoy–O’Gorman, en utilisant des techniques de comptage via des traces et des formes endoscopiques. L’article ouvre un chemin pour le comptage et l’analyse des moduli de Hitchin avec dénombrements fins et lie les géométries spectrales à des invariants arithmétiques et topologiques.

Abstract

Let $C$ be a smooth projective curve of genus $g$ over a finite field $\mathbb{F}_q$ and let $D$ be a divisor on $C$ of degree $>2g-2$. We assume that the characteristic of $\mathbb{F}_q$ is sufficiently large. Let $n$ be an integer and let $β$ be a line bundle on $C$ of degree $e$, coprime to $n$. We give a formula for the number of stable ($D$-twisted) Hitchin bundles over $C$ of rank $n$ and determinant $β$ in terms of the number of stable Hitchin bundles over $C'$ of rank $n/d$ and degree $e$ where $C'$ ranges over cyclic covers $C'$ of $C$ of degree $d$ dividing $n$. Using a work by Mozgovoy-O'Gorman, we derive a closed formula for the following invariants of the moduli space of ($D$-twisted) Hitchin bundles over $C$ of rank $n$, trace $0$ and determinant $β$: its number of points over finite extensions of $\mathbb{F}_q$, its $\ell$-adic Poincaré polynomial and its Euler-Poincaré characteristic. Our main tools are the fundamental lemma of automorphic induction and a support theorem for the relative cohomology of a local system on the Hitchin fibration for the group $\mathrm{GL}(n)$.