Courbes de Fermat et principe de Hasse
Alain Kraus
TL;DR
L’article démontre qu, pour tout premier $p\ge 5$, il existe une infinité de courbes de Fermat définies sur $\mathbb{Q}$ d’exposant $p$ qui contredisent le principe de Hasse et sont deux à deux non $\mathbb{Q}$-isomorphes. L’approche construit des familles de courbes $C_q: x^p+q y^p+r z^p=0$ avec un premier $r$ choisi afin que $C_q$ n’ait pas d’obstruction locale autre que possiblement en $p$, et démontre, via des arguments de densité et de classes d’Idéaux dans des corps cycliques, que le nombre de tels $q$ est infini et que les courbes sont distinctes modulo l’isomorphisme. L’Appendice fournit une criterion de non-isomorphisme fondé sur la cohomologie de Galois et le groupe d’automorphismes du Fermat, garantissant l’unicité des $C_q$ dans la famille. En combinant ces éléments, l’article obtient le résultat principal sans recourir à la GRH dans les cas mentionnés, étendant des résultats antérieurs (Kraus 2016) et reliant les propriétés locales, les classes et les considérations de densité à l’existence des contre-exemples au principe de Hasse.
Abstract
Let $p\geq 3$ be a prime number. A Fermat curve over $\mathbb{Q}$ of exponent $p$ is defined by an equation of the shape $ax^p+by^p+cz^p=0$, where $a,b,c$ are non-zero rational numbers. We prove in this article that there exist infinitely many Fermat curves defined over $\mathbb{Q}$, of exponent $p$, pairwise non $\mathbb{Q}$-isomorphic, contradicting the Hasse principle.