Aplicando diferencias finitas para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales parciales sobre dominios planos irregulares simplemente conexos y no conexos

TL;DR

Este trabajo aborda la resolución numérica de PDEs en dominios planos irregulares mediante diferencias finitas apoyándose en una estrategia de agotamiento. Propone discretizaciones duales, $\overline{\Omega}$ y $\underline{\Omega}$, generadas a partir de un rectángulo envolvente $R$, y desarrolla un marco teórico de extensión/contracción de dominio junto con condiciones de convergencia, consistencia y estabilidad para garantizar que las soluciones aproximadas converjan a la solución real en $\Omega$. Introduce definiciones de áreas inducidas y métricas de error para evaluar la fidelidad de la discretización, y sustenta la metodología con ejemplos numéricos de Dirichlet, incluyendo la ecuación $\nabla^2 a=4$ con $a=(x+y)^2$. Concluye que, bajo las hipótesis adecuadas, el enfoque ofrece aproximaciones robustas y competitivas para dominios irregulares, manteniendo consistencia entre discretizaciones y métodos explícitos/implícitos.

Abstract

Using exhaustion method and finite differences a new method to solve system of partial differential equations and is presented. This method allows design algorithm to solve linear and nonlinear systems in irregular domains. Applying this method to solve linear and nonlinear problems with prescribed conditions Dirichlet over two-dimensional irregular domains are analyzed.

Figures (19)

• Figure 1: Imagen tomada de Ribnikov.
• Figure 2: Representacion de $\overline{J}(P,S)$ y $\underline {J}(P,S)$ en $E_2$.
• Figure 3: Puntos interiores de un dominio irregular $\Omega$.
• Figure 4: Representación de las mallas $\overline {\Omega}$ y $\underline{\Omega}$, que aproximan al dominio $\Omega$, respectivamente.
• Figure 5: Solución numérica de la ecuación (\ref{['Parabola:eq2']}) para diferentes valores de $\Delta x$ y $\Delta y$ sobre $\overline {\Omega}$ y $\underline{\Omega}$, respectivamente.