Th{é}orie de l'homotopie quantitative

TL;DR

Ce travail explore les questions quantitatives en théorie de l’homotopie, en examinant la calculabilité des invariants, la construction de représentants de faible coût et la complexité des déformations entre applications. Il développe un cadre intégrant des outils comme la tour de Postnikov, les modèles minimaux rationnels et l’homotopie effective pour obtenir des bornes sur le coût Lipschitz et la taille des classes d’homotopie, tout en mettant en évidence des résultats d’indécidabilité et de complexité (NP-difficile, #P-difficile, BQP/FP). Des exemples clés, notamment le nombre de tours, le degré et l’invariant de Hopf, illustrent comment les contraintes de Lipschitz conditionnent la croissance des classes et la faisabilité des déformations. Le texte établit des bornes polynômiales ou quasi-polynômiales sous desHypothèses de formalisme et dilatabilité, tout en montrant que des phénomènes exceptionnels apparaissent (croissances en $L^r$ pour $r>4$, coûts de déformation non récursifs). Ces résultats éclairent l’interaction entre topologie algorithmique et géométrie riemannienne, et soulignent les défis et les voies potentielles pour le calcul et la vérification en homotopie.

Abstract

The aim of homotopy theory in topology is to simplify, after continuous deformation, continuous maps between topological spaces. What prevents this from happening are homotopy invariants. This raises quantitative questions: $\bullet$ Is the calculation of invariants possible (decidable)? If so, at what cost? $\bullet$ Is it possible to construct low-complexity representatives whose invariant values are prescribed? If so, at what cost? $\bullet$ How complex are the necessary deformations? The answers, often recent, are extremely varied. Moreover, many questions remain open, showing that topology has not said its last word, even in low dimensions.