Weight of convex compact spaces and their boundaries
Reznichenko Evgenii
TL;DR
Поставлена и частично разрешена проблема связи между весом выпуклого компактного множества $K$, весом его границы $B$ и сетевыми свойствами пространства. Основной метод — введение и использование cz-сетей, класса ${ t R}_{ au}$ и анализа через пространства вероятностных мер и пространств аффинных функций, чтобы получить равенства и неравенства между $w(K)$, $nw(B)$, $nw(P_{ ext{max}}(K))$, а также связи с $C_p(X)$ и $P_ au(X)$. В результате доказано, что если $B$ линделефово–Σ-пространство, тогда $w(K)=nw(B)$, и если $B$ имеет счетную сеть, то $K$ метризуется; рассмотрены и неоднозначности между весами границ и самих компакт-объектов, а также приведены примеры и открытые вопросы, расширяющие диапазон применимости методов к теории вероятностных мер и пространств аффинных функций.
Abstract
It is proved that if some boundary $B$ of a convex compact subset $X$ of a locally convex linear space has a countable network, then the convex compact space $X$ is metrizable. If the boundary $B$ is a Lindelof $Σ$-space, then the network weight $nw(B)$ of $B$ coincides with the weight $w(K)$ of $K$.