Étude statistique du facteur premier médian, 1 : valeur moyenne
Jonathan Rotgé
TL;DR
Ce travail étudie la valeur moyenne du logarithme du facteur premier médian d’un entier, en généralisant des résultats antérieurs. Il fournit une expansion asymptotique précise pour $S_{\nu}(x)$, avec un premier terme optimal et des coefficients explicites $\mathfrak{c}_{\nu,j}$; notamment $\mathfrak{c}_{\nu,1}$ est computable et distinct selon que $\nu=\omega$ ou $\nu=\Omega$. L’approche combine une décomposition dominante via des domaines admissibles, des expansions uniformes de $\Phi_{\nu,k}(x,y)$, des estimations Erdős–Tenenbaum pour des moyennes logarithmiques et une analyse technique par Euler–Maclaurin autour du centre $w_p$, aboutissant à une démonstration du théorème principal et à une répartition précise des contributions impaires et paires. Cette avancée apporte une ré-élaboration plus fine de la répartition statistique des facteurs premiers intermédiaires et améliore les bornes de remainder par rapport aux résultats récents.
Abstract
We provide an asymptotic expansion for the mean-value of the logarithm of the middle prime factor of an integer, defined according to multiplicity or not, thus generalising a recent study of McNew, Pollack, and Singha Roy. This yields an improvement of the asymptotic estimate, in particular by furnishing an optimal remainder when the expansion is truncated at the first order.