Recurrence of integral zeros for ergodic flows

TL;DR

Статья исследует возврат интегральных нулей вдоль траекторий эргодических потоков. Авторы используют переход к цилиндрическим каскадам и результаты Крыгига-Аткинсона и Шнейберга для демонстрации рекуррентности и существования времён $t_k$, на которых $\int_0^{t_k} f(T_s x)\,ds=0$ для почти всех начальных точек $x$ в заданном множестве. В разделе 2 формулируются и доказываются теоремы о существовании таких нулевых интегралов с возвратами в $A$ и слабых локальных свойств в метрическом пространстве; в разделе 3 приводятся расширения на цилиндрические каскады и специальные $S_t$, а также общие ремарки и дополнительные условия. Основной вклад состоит в демонстрации рекуррентности интегральных нулей в общемассовых и специальных потоках и в указании условий, при которых сумма интегралов вдоль траекторий достигает нуля бесконечно часто. Это дополняет классическую Биркгофскую теорию и связанный с ней анализ возвратов в контексте потоков и специальных потоков. $oxed{T_t,box{$f$ с нулевым средним}, oxed{ ext{интегралы вдоль траекторий}}}$.

Abstract

Let a flow $T_t$ preserve an ergodic probability measure $μ$, $\int f\,dμ=0$, and $μ(A)>0$. Then for almost all $x\in A$, for which $f(x)\neq 0$, there is a sequence ${t_k}\to \infty$ such that $T_{t_k}x\in A$ and $\int_0^{t_k} f(T_sx)ds=0$.