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Stabilisation et germes pour $SL(2)$ en toutes caractéristiques

Jean-Pierre Labesse

Abstract

We give the stabilisation of local orbital integrals and the trace formula over a global field for $SL(2)$ with proofs valid in any characteristic. New features appear in characteristic 2. We obtain, via the stabilisation, an asymptotic expansion near the identity of local orbital integrals which is equivalent, up to a Fourier transform, to the standard germ expansion due to Shalika when the characteristic is not 2 but it is new in characteristic 2. Similarly the fine expansion of the unipotent contribution to the trace formula cannot be obtained using Arthur's techniques and a pre-stabilisation is necessary.

Stabilisation et germes pour $SL(2)$ en toutes caractéristiques

Abstract

We give the stabilisation of local orbital integrals and the trace formula over a global field for with proofs valid in any characteristic. New features appear in characteristic 2. We obtain, via the stabilisation, an asymptotic expansion near the identity of local orbital integrals which is equivalent, up to a Fourier transform, to the standard germ expansion due to Shalika when the characteristic is not 2 but it is new in characteristic 2. Similarly the fine expansion of the unipotent contribution to the trace formula cannot be obtained using Arthur's techniques and a pre-stabilisation is necessary.

Paper Structure

This paper contains 44 sections, 15 theorems, 519 equations.

Table of Contents

  1. Préliminaires
  2. Corps et extensions quadratiques
  3. Groupes et sous-groupes
  4. Compact maximal et décomposition d'Iwasawa
  5. Conjugaison stable
  6. Données endoscopiques
  7. Endoscopie géométrique locale
  8. Stabilisation et transfert géométrique local
  9. Transfert déployé
  10. Transfert elliptique
  11. Développement en germes pour $SL(2)$
  12. Analyse harmonique et transfert spectral local
  13. Séries principales
  14. L'opérateur d'entrelacement
  15. Induction et restriction
  16. ...and 29 more sections

Key Result

Proposition 2.3.1

Tout $g\in{\widetilde{G}}(F)$ s'écrit $g=e\alpha(\mu)k$ avec $e\in {\widetilde{T}}_{E/F}(F)=E^\times$, $k\in K$ et $\vert\mu\vert\ge1$ : Soient $d\mu$ la mesure de Haar standard pour le groupe $F^\times$ et $dk$ la mesure normalisée pour $K$. Pour $e\in E^\star$ on a la formule d'intégration où $C(\mu)=\vert\mu-\mu^{-1}\vert$ pour $\vert\mu\vert\ge1$ si $F=\mathbb R$ pour un choix convenable de

Theorems & Definitions (64)

  • proof
  • proof
  • Definition 2.1.1
  • proof
  • Proposition 2.3.1
  • proof
  • Proposition 2.3.2
  • proof
  • proof
  • proof
  • ...and 54 more