Le tissu dual d'un pré-feuilletage convexe réduit sur $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ est plat
Samir Bedrouni
TL;DR
Cet article démontre que le tissu dual d’un pré-feuilletage convexe réduit de degré $d\ge3$ sur $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ est plat, prolongeant des résultats antérieurs pour les droites invariantes. La méthode combine une analyse fine du discriminant et des décompositions locales près des composantes invariantes, avec une caractérisation de la platitude via l’holomorphie de la courbure $K(\mathrm{Leg}\mathscr{F})$ le long des lieux critiques. Des résultats clés incluent des formules explicites pour le discriminant $\Delta(\mathrm{Leg}\mathscr{F})$, des descriptions locales des tissus proches du discriminant et des démonstrations de platitude dans des cas exemplaires où le feuilletage associé est bien connu ($\mathcal{F}_{0}^{d}$, $\mathcal{F}_{H}^{4,5,7}$). Ces contributions éclairent la structure des tissus algébriques et ouvrent des conjectures sur la platitude généralisée des tissus duals de pré-feuilletages convexes. L’ouvrage fournit ainsi une voie pour une classification potentielle des pré-feuilletages convexes et leurs applications à la géométrie des tissus et des discriminants.
Abstract
A holomorphic pre-foliation $\mathscr{F}=\mathcal{C}\boxtimes\mathcal{F}$ on $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ is the data of a reduced complex projective curve $\mathcal{C}$ of $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ and a holomorphic foliation $\mathcal{F}$ on $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$. When the foliation $\mathcal{F}$ is convex (resp. reduced convex) and the curve $\mathcal{C}$ is invariant by $\mathcal{F}$, we say that the pre-foliation $\mathscr{F}=\mathcal{C}\boxtimes\mathcal{F}$ is convex (resp. reduced convex). We prove that the dual web of a reduced convex pre-foliation on $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ is flat. This generalizes our previous result obtained in the case where the associated curve consists only of invariant lines.