Équivalences de Fontaine multivariables Lubin-Tate et plectiques pour un corps local $p$-adique
Nataniel Marquis
TL;DR
Cet article construit une généralisation multivariable de la correspondance de Fontaine en introduisant des cadres Lubin-Tate et plectique pour des produits de groupes de Galois locaux. En s’appuyant sur des outils de géométrie parfaite et diamants (Drinfeld), il définit des anneaux de périodes multivariables $b O_{b E_{K, Delta}}$ et des monoïdes d’action $φ$- et $ Gamma$ multivariables, puis établit des équivalences de catégories entre représentations de type fini et modules étales multivariables. Le travail couvre à la fois le cadre caractéristique $p$ et le cadre mixte, via un dévissage et des extensions de scalaires, et introduit des variantes plectiques et glectiques qui étendent la portée locale de la théorie. Les résultats incluent des versions modulo $p$, des constructions pleinement fidèles des foncteurs $b D_{ Delta}$ et des quasi-inverses, et une discussion sur la récupération des équivalences de Carter–Kedlaya–Zábrádi. L’ensemble propose une approche systématique pour des équivalences de Fontaine multivariables dans des contextes Lubin-Tate, plectique et glectique, avec des outils géométriques robustes et des décompositions en dévissages facilitant les extensions et les invariants.
Abstract
Let $Δ$ be a finite set. We adapt the techniques of Carter-Kedlaya-Zábrádi to obtain a multivariable Fontaine equivalence which relates continuous finite dimensional $\mathbb{F}_q$-representations of $\prod_{α\in Δ} \mathcal{G}_{\mathbb{F}_q(\!(X)\!)}$ to multivariable $\varphi$-modules over a $\mathbb{F}_q$-algebra which is a domain. From this, we deduce a multivariable Lubin-Tate Fontaine equivalence for continuous finite type $\mathcal{O}_K$-representations of $\prod_{α\in Δ} \mathcal{G}_K$, where $K|\mathbb{Q}_p$ is a finite extension. We also obtain a plectic Fontaine equivalence and two equivalences for the subgroup $\mathcal{G}_{K,\mathrm{glec}}$ of the plectic Galois group.