Un crible minorant effectif pour les entiers friables
Adrien Mounier
TL;DR
Ce travail établit une minoration explicite et effective du nombre d’entiers $y$-friables dans un ensemble fini $\mathcal{A}$, via une crible minorant paramétré par $\theta$ et $\kappa$, menant à une fonction $\varrho_{\theta,\kappa}(u)$ qui s’aligne sur la fonction de Dickman lorsque $\theta\to1$. La méthode repose sur une version générale de l’identité de Hildebrand et une récurrence multidimensionnelle autour des quantités $\mu_k$, aboutissant à des minorations de $\Psi_{\mathcal{A}}(y)$ dans des domaines reliés au niveau de distribution de $\mathcal{A}$. Les résultats s’appliquent ensuite à des cas concrets: valeurs friables de polynômes (notamment $F(n)$ et $F(X,Y)$), formes binaires irréductibles et entiers friables voisins, avec des énoncés explicites pour les constantes et les domaines en fonction des degrés et des structures irréductibles. Des versions inconditionnelles et conditionnelles (avec EH pour les entiers friables) permettent d’obtenir des bornes minimales robustes dans des domaines variés, complétant et renforçant les résultats préexistants de Dartyge–Martin–Tenenbaum et Lachand tout en fournissant des outils efficaces pour des applications arithmétiques concrètes.
Abstract
Let $\mathcal{A}$ be a finite set of positive integers and $y\geq 1$. We give an effective lower bound of the cardinality of the set $\{n\in\mathcal{A};\,p|n\Longrightarrow p\leq y\}$ under the condition of a good knowledge of the level of distribution of the set $\mathcal{A}$. Some consequences are studied: an application to the friable values of irreducible polynomials or binary forms with integer coefficients, and an application to shifted friable numbers.