Cycle caracéristique pour les D-modules coadmissibles sur une courbe formelle
Raoul Hallopeau
TL;DR
Le document développe une théorie microlocale pour les modules coadmissibles $\mathcal{D}_{\mathfrak{X}, \infty}$ sur une courbe formelle lisse, en introduisant une variété caractéristique comme invariant des modules via une microlocalisation $\mathcal{F}_{\infty}$. Il definie une notion de sous-holonomie et montre que les modules sous-holonomes sont génériquement des connexions intégrables et possèdent un cycle caractéristique fini, avec longueur finie; l’ouvrage étend les cadres d’Ardakov–Wadsley et Abe–Marmora et établit des propriétés de stabilité et de finitude sous des constructions microlocalisées $\mathcal{E}_k$, $\mathcal{F}_{k,r}$ et $\mathcal{F}_{\infty,r}$. La section 5 construit des modules caractéristiques $\mathcal{F}_{k,r}^*$ et $\mathcal{F}_{\infty,r}^*$ et associe à tout module coadmissible un invariant caractéristique $\mathrm{Car}(\mathcal{M})$, démontrant l’invariance et la stabilité sous les limites. Enfin, les résultats aboutissent à une théorie cohérente des cycles caractéristiques et à la finitude en longueur des modules sous-holonomes, ouvrant la voie à une caractérisation holonome robuste pour les D-arithmétiques sur les courbes formelles et à des perspectives pour les cadres analytiques rigides.
Abstract
Let $\mathfrak{X}$ be a formal smooth quasi-compact curve over a complete discrete valuation ring of mixed characteristic. We consider over $\mathfrak{X}$ the sheaves of differential operators $\widehat{\mathcal{D}}^{(0)}_{\mathfrak{X}, k , \mathbb{Q}}$ with a congruence level $k \in \mathbb{N}$ and their projective limit $\mathcal{D}_{\mathfrak{X}, \infty} = \varprojlim_k \widehat{\mathcal{D}}^{(0)}_{\mathfrak{X}, k , \mathbb{Q}}$. In this article, we define a characteristic variety for coadmissible $\mathcal{D}_{\mathfrak{X}, \infty}$-modules as a closed subset of the cotangent space $T^*\mathfrak{X}$. For this purpose, we introduce a microlocalization sheaf of $\mathcal{D}_{\mathfrak{X}, \infty}$ in which the derivation is locally invertible. We deduce a notion of "sub-holonomicity" for coadmissible $\mathcal{D}_{\mathfrak{X}, \infty}$-modules which is equivalent to being generically an integrable connection. Finally, we associate characteristic cycles to sub-holonomic modules proving that the latter are of finite length.