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Une mesure de Radon invariante sur les $F$-strates unipotentes

Bertrand Lemaire

Abstract

Let $F$ be a non-Archimedean locally compact field and $G$ a connected reductive group defined over $F$. To any unipotent element $u$ in $G(F)$, we have associated in [L] an $F$-stratum $\boldsymbol{\mathfrak{Y}}_{F,u}$ which is a (possibly infinite) union of unipotent $G(F)$-orbits. We define here a "canonical" non-zero positive $G(F)$-invariant Radon measure on $\boldsymbol{\mathfrak{Y}}_{F,u}$. Under additional assumptions, we deduce the convergence of the orbital integral associated to the $G(F)$-orbit of $u$. The construction, valid in any characteristic, generalizes the one of Deligne-Ranga Rao [RR] and also applies to nilpotent strata in $\textrm{Lie}(G)(F)$.

Une mesure de Radon invariante sur les $F$-strates unipotentes

Abstract

Let be a non-Archimedean locally compact field and a connected reductive group defined over . To any unipotent element in , we have associated in [L] an -stratum which is a (possibly infinite) union of unipotent -orbits. We define here a "canonical" non-zero positive -invariant Radon measure on . Under additional assumptions, we deduce the convergence of the orbital integral associated to the -orbit of . The construction, valid in any characteristic, generalizes the one of Deligne-Ranga Rao [RR] and also applies to nilpotent strata in .
Paper Structure (26 sections, 7 theorems, 202 equations)

This paper contains 26 sections, 7 theorems, 202 equations.

Table of Contents

  1. Introduction
  2. Notations
  3. Le théorème de Deligne-Ranga Rao ($p=1$)
  4. L'état des lieux en caractéristique $p\geq 1$
  5. L'analogue du théorème de RR pour les $F$-strates
  6. Une formule du type « intégrale orbitale » pour $I_{\boldsymbol{\mathfrak{Y}}}$
  7. Sur la convergence des intégrales orbitales unipotentes
  8. Organisation des résultats
  9. Un résultat technique
  10. Les co-caractères $(F,u)$-optimaux
  11. Les $F$-lames et les $F$-strates
  12. La théorie sur l'algèbre de Lie
  13. Du groupe à l'algèbre de Lie
  14. Généralisation et descente
  15. Énoncé du résultat technique et premières réductions
  16. ...and 11 more sections

Key Result

Proposition 2.5.1

Soit $v\in \EuScript{N}_F^G(V,e_V)$. Soit $E/F$ une extension séparable (algébrique ou non) telle que $(E^\mathrm{s\acute{e}p})^{\mathrm{Aut}_F(E^\mathrm{s\acute{e}p})}= F$Cette égalité est toujours vérifiée si $E/F$ est algébrique ou de degré de transcendance infini, e.g. si $E$ est le complété $F_

Theorems & Definitions (24)

  • Proposition 2.5.1
  • Proposition 2.6.2
  • proof
  • Proposition 2.6.5
  • proof
  • proof
  • proof
  • proof
  • proof
  • proof
  • ...and 14 more