$λ$-quiddit{é} sur certains sous-groupes monog{è}nes de $\mathbb{C}$

TL;DR

Ce travail étend le cadre des λ-quiddités à des sous-groupes monogènes de $\mathbb{C}$, en particulier les générateurs $<\sqrt{k}>$ et $<i\sqrt{k}>$. À travers l’utilisation des continuants et de l’algorithme d’Euler, il fournit une classification des λ-quiddités irréductibles sur $<\sqrt{k}>$ pour $k=0,1,2,3$ et établit une description générale lorsque $k\ge4$, tout en montrant que les cas $<i\sqrt{k}>$ se comprennent via une bijection avec les cas réels $<\sqrt{k}>$ (pour $k\neq1$). L’étude montre aussi que $<i\sqrt{k}>$ n’admet pas de quiddities de longueur impaire et détaille des résultats pairement irréductibles reliant les structures sur $<i\sqrt{k}>$ et $<\sqrt{k}>$, avec des implications pour les liens arithmétiques (Pell-Fermat) et les propriétés de réduction. Ces résultats éclairent la problématique de Cuntz sur les λ-quiddités dans de nouveaux contextes additifs et clarifient la relation entre les sous-groupes réels et imaginaires dans ce cadre.

Abstract

During the study of Coxeter's friezes, M. Cuntz defined the concept of $λ$-quiddities and gave the problem of studying them over some subsets of $\mathbb{C}$. The objective of this text is to carry out this study in the case of some cyclic subgroups of ($\mathbb{C},+$). In particular we will study the case of the cyclic subgroups generated by $\sqrt{k}$ and $i\sqrt{k}$, with $k \in \mathbb{N}$.

Theorems & Definitions (20)

• Proposition 3.1: CH, exemple 2.7
• Proposition 3.2: M4, proposition 3.5
• proof
• Proposition 3.3
• proof
• Proposition 3.10
• proof
• proof
• Proposition 3.12
• proof