(Co)module algebras and their generalizations

TL;DR

Данная работа развивает единую теорию (ко)модульных структур над алгебрами Хопфа, включая эквивалентности градуировок и их универсальные группы, а также общий подход к (ко)действиям Hopf-алгебр через Ω-алгебры и $V$-универсальные алгебры Хопфа. В ней предложены методики замены градуировок обобщёнными $H$-действиями, что позволяет доказывать аналог гипотезы Амитсура для коазмерностей в конечномерных ассоциативных и алгебрах Ли при различных типах дополнительных структур. Раскрываются вопросы существования и отсутствия сопряжённых функторов для категорий градуировок, а также структурной классификации конечномерных $H$-модульных алгебр, включая алгебры Тафта $H_{m^2}( abla)$ и их неполупростые и полупростые варианты. Приведённые результаты имеют приложение к изучению радикалов, разложений Веддербёрна—Артина—Мальцева и росту коразмерностей тождеств, а также к вопросам эквивалентности и перенастройки симметрий в некоммутативной геометрии и квантовых симметрий.

Abstract

This manuscript is an extended version of the author's habilitation thesis defended on May 21, 2021 at M.V. Lomonosov Moscow State University. It is devoted to the study of (co)stability of radicals, existence of (co)invariant Levi and Wedderburn decompositions, structure of the corresponding simple algebras and codimension growth of polynomial identities in (co)module algebras over bi- and Hopf algebras and their generalizations. The main difference between this manuscript and the "official" thesis are additional chapters dealing with equivalences of gradings and Hopf algebra (co)actions, V-universal (co)acting bi- and Hopf algebras and related categorical questions. (In Russian.)

Figures (1)

• Figure 1: Подстановка элементов алгебры $A$ вместо переменных многочлена $e_{T_\lambda}f$.