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On the Stabilisation of Rational Surface Maps

Richard A. P. Birkett

Abstract

The dynamics of a rational surface map $f : X \dashrightarrow X$ are easier to analyse when $f$ is `algebraically stable'. Here we investigate when and how this condition can be achieved by conjugating $f$ with a birational change of coordinates. We show that if this can be done with a birational morphism, then there is a minimal such conjugacy. For birational $f$ we also show that repeatedly lifting $f$ to its graph gives a stable conjugacy. Finally, we give an example in which $f$ can be birationally conjugated to a stable map, but the conjugacy cannot be achieved solely by blowing up. La dynamique d'une application rationnelle $f : X \dashrightarrow X$ sur une surface est plus simple à analyser lorsque $f$ est `algébriquement stable'. Dans cet article nous étudions comment la stabilité peut être réalisée en conjuguant $f$ par un changement de variable birationnel. Nous montrons que si cela peut être réalisée avec une morphisme birationnelle, il existe une telle conjugaison minimale. Pour $f$ birationnelle, nous montrons aussi que l'on obtient une conjugaison stable par relévement successif au graphe. Nous donnons enfin un exemple dans lequel $f$ peut être conjuguée birationnellement à une application stable, mais la conjuguée ne peut pas être obtenue uniquement par éclatement.

On the Stabilisation of Rational Surface Maps

Abstract

The dynamics of a rational surface map are easier to analyse when is `algebraically stable'. Here we investigate when and how this condition can be achieved by conjugating with a birational change of coordinates. We show that if this can be done with a birational morphism, then there is a minimal such conjugacy. For birational we also show that repeatedly lifting to its graph gives a stable conjugacy. Finally, we give an example in which can be birationally conjugated to a stable map, but the conjugacy cannot be achieved solely by blowing up. La dynamique d'une application rationnelle sur une surface est plus simple à analyser lorsque est `algébriquement stable'. Dans cet article nous étudions comment la stabilité peut être réalisée en conjuguant par un changement de variable birationnel. Nous montrons que si cela peut être réalisée avec une morphisme birationnelle, il existe une telle conjugaison minimale. Pour birationnelle, nous montrons aussi que l'on obtient une conjugaison stable par relévement successif au graphe. Nous donnons enfin un exemple dans lequel peut être conjuguée birationnellement à une application stable, mais la conjuguée ne peut pas être obtenue uniquement par éclatement.

Paper Structure

This paper contains 13 sections, 24 theorems, 35 equations.

Table of Contents

  1. Introduction
  2. Background
  3. Minimal Stabilisation
  4. Untangled maps
  5. Stabilisation Through Graphs
  6. Examples
  7. Introduction
  8. Satellite Blowups
  9. Mapping Exceptional Curves
  10. Dynamics of Exceptional Curves
  11. The Berkovich Alternative
  12. Failed Stabilisation Through Graphs for Rational Maps
  13. Quadratic Example

Key Result

Proposition 1

Suppose that $f: X \dashrightarrow X$ is a rational map on a surface. Let $p, f(p), \dots, f^{n-1}(p)$ be a minimal destabilising orbit for $f$ and $\pi : X' \to X$ be the birational morphism blowing up each $p_j = f^{j-1}(p)$. Then any birational morphism $\rho : (g, Y) \to (f, X)$ stabilising $(f,

Theorems & Definitions (58)

  • Definition 1
  • Proposition 1
  • Definition 2: Minimal Stabilisation Algorithm
  • Theorem 1
  • Corollary 1
  • proof
  • Corollary 2
  • proof
  • Corollary 3
  • Theorem 2
  • ...and 48 more