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Automorphismes du groupe des automorphismes d'un groupe de Coxeter universel

Yassine Guerch

Abstract

Using the Guirardel-Levitt outer space of a free product, we prove that the outer automorphism group of the outer automorphism group of the universal Coxeter group of rank $n \geq 5$ is trivial, and that it is a cyclic group of order 2 if $n=4$. In addition we prove that the outer automorphism group of the automorphism group of the universal Coxeter group of rank $n \geq 4$ is trivial.

Automorphismes du groupe des automorphismes d'un groupe de Coxeter universel

Abstract

Using the Guirardel-Levitt outer space of a free product, we prove that the outer automorphism group of the outer automorphism group of the universal Coxeter group of rank is trivial, and that it is a cyclic group of order 2 if . In addition we prove that the outer automorphism group of the automorphism group of the universal Coxeter group of rank is trivial.

Paper Structure

This paper contains 9 sections, 11 theorems, 42 equations, 1 figure.

Table of Contents

  1. Introduction
  2. Préliminaires
  3. Stabilisateurs des $\{0\}$-étoiles et des $F$-étoiles
  4. Rigidité des automorphismes extérieurs d'un groupe de Coxeter universel
  5. Démonstration dans le cas $n \geq 5$ et $n \neq 6$
  6. Démonstration dans le cas $n=6$
  7. Démonstration dans le cas $n=4$
  8. Démonstration de la rigidité de $\mathrm{Aut}(W_n)$
  9. Présentation du groupe $\mathrm{Out}(W_4)$

Key Result

Proposition 2.1

muhlherr1997 Le groupe $\mathrm{Aut}(W_n)$ est engendré par $\tau_1,\ldots,\tau_{n-1}$ et par $\sigma_{1,2}$.

Figures (1)

  • Figure 1: Exemples de graphes de groupes dont les classes d'équivalence sont respectivement une $\{0\}$-étoile et une $F$-étoile (cas $n=6$). Les arêtes ont des groupes associés triviaux. L'ensemble $\{x_1,\ldots,x_6\}$ est une partie génératrice standard de $W_6$.

Theorems & Definitions (11)

  • Proposition 2.1
  • Proposition 2.2
  • Proposition 2.3
  • Proposition 2.5
  • Proposition 2.8
  • Proposition 3.3
  • Proposition 3.7
  • Proposition 3.10
  • Proposition 4.1
  • Proposition A.1
  • ...and 1 more