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Waring, tangential and cactus decompositions

Alessandra Bernardi, Daniele Taufer

Abstract

(EN) We revise the famous algorithm for symmetric tensor decomposition due to Brachat, Comon, Mourrain and Tsidgaridas. Afterwards, we generalize it in order to detect possibly different decompositions involving points on the tangential variety of a Veronese variety. Finally, we produce an algorithm for cactus rank and decomposition, which also detects the support of the minimal apolar scheme and its length at each component. (FR) Nous revenons sur le fameux algorithme de Brachat, Comon, Mourrain et Tsidgaridas pour la dćomposition des tenseurs symétriques. Ensuite, nous le généralisons afin de détecter de possibles décompositions différentes impliquant des points sur la variété tangentielle d'une variété de Veronese. Enfin, nous proposons un algorithme pour le rang et la décomposition cactus, qui, lui aussi, détecte le support du schéma apolaire minimal ainsi que sa longueur sur chaque composante.

Waring, tangential and cactus decompositions

Abstract

(EN) We revise the famous algorithm for symmetric tensor decomposition due to Brachat, Comon, Mourrain and Tsidgaridas. Afterwards, we generalize it in order to detect possibly different decompositions involving points on the tangential variety of a Veronese variety. Finally, we produce an algorithm for cactus rank and decomposition, which also detects the support of the minimal apolar scheme and its length at each component. (FR) Nous revenons sur le fameux algorithme de Brachat, Comon, Mourrain et Tsidgaridas pour la dćomposition des tenseurs symétriques. Ensuite, nous le généralisons afin de détecter de possibles décompositions différentes impliquant des points sur la variété tangentielle d'une variété de Veronese. Enfin, nous proposons un algorithme pour le rang et la décomposition cactus, qui, lui aussi, détecte le support du schéma apolaire minimal ainsi que sa longueur sur chaque composante.

Paper Structure

This paper contains 28 sections, 18 theorems, 98 equations, 1 table.

Table of Contents

  1. Introduction
  2. Novel contribution
  3. Structure of the paper
  4. Preliminaries
  5. Notation
  6. Algebraic tools
  7. Apolarity
  8. Waring decomposition algorithm
  9. Problem reformulation
  10. Choice of the basis
  11. Minimal Waring rank to test
  12. Waring decomposition algorithm
  13. Algorithm advantages
  14. Essential variables
  15. The starting $r$
  16. ...and 13 more sections

Key Result

Theorem 2.2

Let $I$ be a proper ideal of $R$. The following are equivalent. Moreover, if $I$ is zero-dimensional, we have which is an equality if and only if $I$ is also radical.

Theorems & Definitions (40)

  • Definition 2.1
  • Theorem 2.2: Zero-dimensional ideals
  • Definition 2.3
  • Theorem 2.4
  • Corollary 2.5
  • Definition 2.6
  • Theorem 2.7
  • Definition 2.8
  • Proposition 2.9
  • Theorem 3.1
  • ...and 30 more