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On Optimality Conditions in Control Theory

Nico Tauchnitz

TL;DR

Das Werk entwickelt notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingungen für eine breite Klasse von Steuerungsproblemen mithilfe der Needle-Variationen von Ioffe & Tichomirov und erweitert die klassische Theorie um unendliche Zeitschranken, Zustehungs- und Volterra-Probleme. Es führt ein zweistufiges Strukturschema ein: erst Richtungsvariationen in der klassischen Variationsrechnung, dann Nadelvariationen in der Optimalen Steuerung, einschließlich des Pontrjaginschen Maximumprinzips mit adjungierten Gleichungen, Transversalitäten und Variationsungleichungen. Weiterhin behandelt es Isoperimetrie und Freiheitsgrade von Endzeitpunkten sowie Zustandsbeschränkungen, inklusive maßevaluierter Multiplikatoren und Sprungbedingungen. Die Beispiele demonstrieren die Struktur der Adjunkten und die wirtschaftliche Interpretation der Schattenpreise, wodurch die Verbindung zwischen Theorie und praktischer Optimierung in Technik, Ökonomie und Dynamik hergestellt wird.

Abstract

We study optimality conditions for various types of control problems like the standard optimal control problem, optimal multiprocesses, problems with infinite horizon or the control of Volterra integral equations. To derive necessary conditions the needle variation method of Ioffe & Tichomirov is the central tool. In the particular control problem with infinite horizon the question of a suitable setting arises. We propose the framework of continuous state trajectories converging at infinity. This requires a version of Riesz' representation theorem and the introduction of regular Borel measures on the extended real number line. The control of Volterra integral equations including an inner and outer time variable. Consequently, we deal with a two-dimensional time set. We extend the needle variation method of Ioffe & Tichomirov to this case. The obtained optimality conditions are demonstrated in illustrative examples.

On Optimality Conditions in Control Theory

TL;DR

Das Werk entwickelt notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingungen für eine breite Klasse von Steuerungsproblemen mithilfe der Needle-Variationen von Ioffe & Tichomirov und erweitert die klassische Theorie um unendliche Zeitschranken, Zustehungs- und Volterra-Probleme. Es führt ein zweistufiges Strukturschema ein: erst Richtungsvariationen in der klassischen Variationsrechnung, dann Nadelvariationen in der Optimalen Steuerung, einschließlich des Pontrjaginschen Maximumprinzips mit adjungierten Gleichungen, Transversalitäten und Variationsungleichungen. Weiterhin behandelt es Isoperimetrie und Freiheitsgrade von Endzeitpunkten sowie Zustandsbeschränkungen, inklusive maßevaluierter Multiplikatoren und Sprungbedingungen. Die Beispiele demonstrieren die Struktur der Adjunkten und die wirtschaftliche Interpretation der Schattenpreise, wodurch die Verbindung zwischen Theorie und praktischer Optimierung in Technik, Ökonomie und Dynamik hergestellt wird.

Abstract

We study optimality conditions for various types of control problems like the standard optimal control problem, optimal multiprocesses, problems with infinite horizon or the control of Volterra integral equations. To derive necessary conditions the needle variation method of Ioffe & Tichomirov is the central tool. In the particular control problem with infinite horizon the question of a suitable setting arises. We propose the framework of continuous state trajectories converging at infinity. This requires a version of Riesz' representation theorem and the introduction of regular Borel measures on the extended real number line. The control of Volterra integral equations including an inner and outer time variable. Consequently, we deal with a two-dimensional time set. We extend the needle variation method of Ioffe & Tichomirov to this case. The obtained optimality conditions are demonstrated in illustrative examples.

Paper Structure

This paper contains 123 sections, 78 theorems, 1365 equations, 25 figures.

Table of Contents

  1. Richtungsvariationen in der Variationsrechnung und Optimalen Steuerung
  2. Die Euler-Lagrangesche Gleichung der Klassischen Variationsrechnung
  3. Die Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichung
  4. Die Euler-Lagrangesche Gleichung in der Wirtschaftstheorie
  5. Notwendige Bedingungen in der einfachsten Bolza-Aufgabe
  6. Die Lagrange-Aufgabe und das Isoperimetrische Problem
  7. Notwendige Bedingungen in der Lagrange-Aufgabe
  8. Der Nachweis der notwendigen Optimalitätsbedingungen
  9. Das Isoperimetrische Problem
  10. Richtungsvariationen in der Optimalen Steuerung
  11. Die Aufgabenstellung für ein schwaches lokales Minimum
  12. Ein Schwaches Optimalitätsprinzip
  13. Der Nachweis der notwendigen Optimalitätsbedingungen
  14. Hinreichende Bedingungen nach Mangasarian
  15. Freier Anfangs- und Endzeitpunkt
  16. ...and 108 more sections

Key Result

Lemma 1.3

Es sei $\varphi(\cdot)$ auf $[t_0,t_1]$ stetig mit Dann gilt $\varphi(t)\equiv 0$ auf $[t_0,t_1]$.

Figures (25)

  • Figure 1: Optimale Steuerung im Goddard Problem mit Luftwiderstand.
  • Figure 2: Kurve k"urzester Fallzeit von $A$ nach $B$.
  • Figure 3: Optimale Trajektorien für $T=2,4,...,20$.
  • Figure 4: Seilkurven, die durch ihr Eigengewicht belastet sind.
  • Figure 5: Golden Gate Bridge.
  • ...and 20 more figures

Theorems & Definitions (88)

  • Definition : Stückweise Stetigkeit
  • Definition : Stückweise stetige Differenzierbarkeit
  • Definition : Stückweise Stetigkeit
  • Definition : Stückweise stetige Differenzierbarkeit
  • Definition 1.2
  • Lemma 1.3: Fundamentallemma von Lagrange
  • Lemma 1.4: Fundamentallemma von du Bois-Reymond
  • Theorem 1.16
  • Theorem 1.22
  • Theorem 1.28
  • ...and 78 more