The Necessary and Sufficient Conditions for Representing Lipschitz Bivariate Functions as a Difference of Two Convex Functions(corrected)
Igor Proudnikov
TL;DR
Данная работа исследует задачу представления липшицевой функции $f:D\to\mathbb{R}$ на выпуклом ограниченном множестве $D\subset\mathbb{R}^2$ в виде разности двух выпуклых функций (DC-разложение). Основной вклад — формулировка необходимых и достаточных условий через вариацию производной вдоль кривых из класса $\wp(D)$ и через геометрическую характеристику кривых, а также алгоритм последовательного приближения: разбиение области на треугольники, построение линейной аппроксимации $f_n$, разложение $f_n=f_{1,n}-f_{2,n}$ на выпуклые многоугольные функции и извлечение предельных выпуклых функций $f_1,f_2$ так, чтобы $f=f_1-f_2$; доказано, что при условии теоремы 1 существуют подпоследовательности, сходящиеся равномерно к выпуклым функциям $f_1,f_2$ (через леммы 1–2 и теорему Арцела). Вторая часть работы предлагает геометрическую интерпретацию: поворот кривой $R(t)=(r(t),f(r(t)))$ на поверхности графика $\\
Abstract
In the article the necessary and sufficient conditions for a representation of Lipschitz function of two variables as a difference of two convex functions are formulated. An algorithm of this representation is given. The outcome of this algorithm is a sequence of pairs of convex functions that converge uniformly to a pair of convex functions if the conditions of the formulated theorems are satisfied. A geometric interpretation is also given.